Question

这道高数题怎么做？

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Answer 1

齐次方程 y''-8y'+16y=0的特征方程 r²-8r+16=(r-4)²=0有重根r₁=r₂=4;
因此齐次方程的通解为：y=(c₁+c₂x)e^(4x)；
不难求得方程y''-8y'+16y=x的特解 ： y₁*=(1/16)x+(1/32)；
设方程y''-8y'+16y=e^(4x)...........①的特解：y₂*=ax²e^(4x)...........②；
y₂*'=2axe^(4x)+4ax²e^(4x)=(2ax+4ax²)e^(4x)............③;
y₂*''=(2a+8ax)e^(4x)+4(2ax+4ax²)e^(4x)=(2a+16ax+16ax²)e^(4x)..........④；
将②③④代入①式并消去e^(4x)得：
(2a+16ax+16ax²)-8(2ax+4ax²)+16ax²=2a=1；∴a=1/2；
即方程①的特解y₂*=(1/2)x²e^(4x)；
∴ 原方程的特解：y*=y₁*+y₂*=(1/16)x+(1/32)+(1/2)x²e^(4x);
原方程的通解：y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^(4x)+(1/16)x+(1/32);