Question

高二抛物线数学题

直线L过抛物线y²=2px（p≠0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1,y1）和B（x2,y2）两点，求证 对于抛物线的任意给定的一条弦CD 直线L不是CD的垂直平分线

Answer 1

证明，①当弦CD垂直x轴时，那么，x轴就是CD的垂直平分线，可是x轴与抛物线只有一个交点，所以，垂直于x轴的弦CD，直线L不是它的垂直平分线。
②当弦CD与x轴不垂直时，那么由抛物线的性质，我们可以知道，弦CD的垂直平分线与抛物线也只有一个交点，而直线l与抛物线有两个交点，故，直线l不是他的垂直平分线。
总结，对于抛物线的任意弦CD，线L都不是CD的垂直平分线。

Answer 2

解：焦点（p/2,0） 设过焦点的 直线方程为：y/(x-p/2)=1/n x= ny+p/2 代入抛物线方程
y^2=2p(ny+p/2) y^2-2pny-p^2=0 根据伟达定理；y1y2=-p^2 y1+y2=2pn
(2)因为C在准线上且AC平行X轴，所以AC垂直准线且C为垂足，设F为焦点，AC=AF
又设A（x1,y1) B(x2,y2) F(+p/2,0) C(-p/2,y1) 原点O（0,0），只要证明CO的斜率与BO的斜率相等，即证明CO与BO共线 CO的斜率K=(y1)/(-p/2) BO的斜率K°=y2/x2 x2=ny2+p/2
k°-k=y2/(ny2+p/2) +2y1/p=[2py2 +2y1(2ny2+p)]/[(2ny2+p)*p]
=[2p(y1+y2)+4ny1y2]/[(2ny2+p)*p]
=[2p(2pn)+4n(--p^2)]/[(2ny2+p)*p]=[4np^2--4np^2]/[(2ny2+p)*p]=0
即K°=K 所以B，C和抛物线的顶点共线.

Answer 3

为什么要问小学生。

追问

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