Question

如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交Y轴于A点，交X轴于B，C两点（B在

如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交Y轴于A点，交X轴于B，C两点（B在C的左侧）。已知A点坐标为（0，3）．
1．求抛物线的解析式（Y＝¼x²－2x＋3）
2．过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D（D在X轴上方），如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与圆C有什么位置关系，并证明
3．已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积？

Answer 1

解：（1）设抛物线为y=a（x-4）^2-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）^2-1，a=1/4；
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当1/4(x-4)^2=0时，x1=2，x2=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=√(2^2+3^2)= √13
BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BCE，
∴AB/BC=OB/CE ，即√13/4=2/CE ，解得CE= 8√13/13，
∵ 8√13/13＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为（m，1/4m^2-2m+3）
则Q点的坐标为（m，-1/2m+3）
∴PQ=-1/2m+3-（1/4m^2-2m+3）=-1/4m^2+3/2m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×（-1/4m^2+3/2m）×6
=-3/4（m-3）^2+27/4；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为27/4；
此时，P点的坐标为（3，-3/4）

Answer 2

图呢