Question

已知数列an满足a1+a2+a3+....+an=n—an(n=1,2,3,…)

令bn=（2-n）（an-1），求bn的前n项和Sn

Answer 1

有公式易得a1=0.5
{Sn=n-an S（n+1）=（n+1）—a（n+1）
两式相减得2{a（n+1）—1}=（an—1） 所以该数列是以a1—1=—0.5为首相 公比为1/2的等比数列
即an=1—（1/2）^n
所以bn=—(2—n）（1/2）^n=—{2（0.5）^n—n（0.5）^n}
接下来只须对大括号中两式求和
对于2（0.5）^n易知为等比数列求的和为2{1—（0.5）^n}
对于n（0.5）^n项令其和为Tn则Tn=1n（0.5）^n1+2（0.5）^2+……+n（0.5）^n
0.5Tn= 1（0.5）^2+……（n-1）（0.5）^n+n（0.5）^n+1
成比错位消项得Tn=2-(2+n)(0.5)^n
综合得Sn=—n（0.5）^n