Question

高中数学问题？

已知函数f（x）=e^x-a（x-1）．（1）证明：当a=1时，f（x）≥2恒成立；（2）若函数f（x）在R上只有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

先对f(x)求导，f(x)'=e^x-a，因为e^x>0，所以当a≤0时，f(x)'>0, 此时函数f(x)一直是增函数。当a>0时，f(x)' 在x>ln(a)区间为正数，在x<ln(a)区间为负数，也就是说当a>0时，原函数f(x)先递减后递增且在x=ln(a)时取最小值。回到你的问题：
(1) a=1>0， 所以f(x)有最小值，所以f(x)≥f(ln1）=f(0)=1-(0-1)=2, 得证。
(2) 分两种情况
一， a≤0, f(x)是递增函数，此时只有一个零点。
二，a>0，如果此时只有一个零点，那么零点就是最小值f(lna)=0，求得a=e^2
所以，a得取值范围就是a=e^2或者a≤0

Answer 2