Question

已知函数f(x)=x+a/x(x>0),a为常数，且a≠0.

(1)研究函数y=f(x)的单调性，并说明理由；（2）如果函数y=f(x)的值域为【6，+∞），求a的值。

急需，万分感谢！

Answer 1

（1） f‘(x)=1-a/x^2, f‘(x)=1-a/x^2>0时，为增函数，否则为减（需讨论a大于零，等于零，小于零三种情况）
a<0时，恒增；
a>0时，讨论。。。

（2）f‘(x)=1-a/x^2=0时，存在极小值f(x)=6。所以a=x^2 ,所以a大于等于零。
x=正负根号a带入f(x)=x+a/x=6得到：a=9

追问

讨论的过程可以写一下么 中间步骤有疑惑 谢谢！

追答

由：1-a/x^2>0 得到a/x^20 得到a/x^2>1, 得到 负的根号a>x或者x>根号a 减区间
1-a/x^2=0 得到a/x^2=1, 得到 负的根号a=x或者x=根号a 极值点
要是你是高中生记得求解极值点过程需要画表格，否则扣分

Answer 2

（1）y'=1-a/x^2,a<0时，y‘>0,函数在定义区间都是增函数，当a>0时，令y’=0，所以x=a^(1/2)当x<a^(1/2)时，y‘<0,此时函数为减函数，x>a^(1/2)时，y‘>0,此时函数为减函数，所以先增后减
（2）若a<0,那么值域不符合题意，所以a>0,因此，y=x+(a/x)>=2a^(1/2)=6所以a=9

Answer 3

（1）f'(x)=1-a/x^2，当a<=0时，f'(x)>0恒成立，此时恒递增；
当a>0时，（0，根号a)减，（根号a,+∞）增
(2)当a<=0时，无最小
当a>0时，最小为 f(根号a)=2根号a=6
所以a=9