Question

一道联合概率密度问题，求过程，急！！！在线的，好的话加分！！！

设随机变量（ξ，η）联合概率密度是
φ(x,y)=3x,(0≤x≤1,0≤y≤x); 0,其他
试求（1）P{ξ<1/4|η=1/8} （2）P{η<1/8|ξ=1/4}

Answer 1

这是属于条件概率的题。首先求边缘密度，ξ的密度为f(x)=3x², (0≤x≤1);0,其它。
η的密度为f(y)=3(1-y²)/2, (0≤y≤1);0,其它。
然后，求条件概率密度，f(x|y)=3x/(3(1-y²)/2)=2x/(1-y²), (y≤x≤1, 0≤y<1);0,其它，上式中y代1/8得
f(x|η=1/8)=128x/63,(1/8≤x≤1);0,其它，这样可得
（1）P{ξ<1/4|η=1/8}=∫(128x/63)dx（上限1/4，下限1/8)=1/21;
同理，f(y|x)=3x/(3x²)=1/x, (0≤y≤x, 0≤x≤1);0,其它，从而
f(y|ξ=1/4)=4, (0≤y≤1/4);0,其它，故
（2）P{η<1/8|ξ=1/4}=∫4dy（上限1/8，下限0)=1/2