Question

如图，P为正方形ABCD边CD上一点，E在CB的延长线上，BE=DP，∠CEP的平分线交正方形的对角线AC于F

过A作AM⊥EP，过F作FN⊥EP，求证：AM＋FN＝AD

Answer 1

设正方形的边长为a,DP=BE=b

易知△ADP≅△ABE

∴AP=AE=√((a^2)+(b^2))     AM=AE/√(2)=√((a^2)+(b^2))/√(2)

AC=√(2)a   ∠AEM=∠ACB=45°

∠AEF=45°+∠CEP/2

∠AFE=45°+∠CEP/2

∴∠AEF=∠AFE

∴AE=AF=√((a^2)+(b^2))

∴FC=√(2)a-√((a^2)+(b^2))

作FG⊥BC于G,则有FG=GC=FN

∴FG=FN=CF/√(2)=(√(2)a-√((a^2)+(b^2)))/√(2)

∴AM+FN=(√((a^2)+(b^2))/√(2))+((√(2)a-√((a^2)+(b^2)))/√(2))=a

则AM+FN=AD

Answer 2

做FG⊥BC于G，做FH⊥AB于H
则有FN=FG=BH
∵BE=DP，AD=AB，∠ADP=∠ABE
∴△ADP≌△ABE
∴AP=AE，∠PAD=∠EAB
∴∠EAP=∠EAB+∠BAP=∠PAD+∠BAP=90°
∴∠AEP=∠AOE=45°
∴∠AEP=∠EAM=45°
∴△EAM≌△FAH
∴AM=EM=FH=AH
∴AM+FN=AH+BH=AB=AD