Question

一道关于高斯函数和阶乘的高中数学竞赛题

n>=5,求证(n-1)| [(n-1)!/n]成立！

Answer 1

好吧，我来给一个证明：
证明：
首先把n分为素数和合数两类：
当n为合数时，其必有小于n-1的因子，记n=a*b,(a,b<n-1),当a,b不等时，(n-1)! 显然含有a,b在内，且a,b都不为n-1，那么(n-2)!/n,这应该是显然的，所以结论成立，当a=b>2时，显然a,2a都在(n-2)!里面，这个应该理解吧，那么(n-2)!/a^2是理所当然的,结论亦成立。
当n为素数时，记n=p，由于 [(p-1)!/p]=[(p-1)[( p-2)!/p]+(p-1){(p-2)!/p}]=(p-1)[(p-2)!/p]+[{(p-1)(p-2)!/p}]}],这样，我们证明后面一项为0，即{(p-1)(p-2)!/p}<1.当然我们证明更强的结论：
p|(p-2)!-1.
(假定你知道同余。)我们来看这个集合A={1，2，3```p-1}。记x,y属于集合A，我们来观察一下这个同余方程：1≡xy（mod p）当x=1或p-1时，y的解为1或p-1，即其解只能为自身，当x不为1或者p-1时，显然，解y不为x，我们说x有唯一解y。否则记x的解y1，y2有：
1≡xy1（mod p）
1≡xy2（mod p）
推得：
xy1≡xy2（mod p）
进而y1=y2，这表明x的解是唯一的，
现在来看：
1≡2y1（mod p） 1≡3y2（mod p）````1≡tyt（mod p）```1≡(p-2)yp-2（mod p)
那么我们知道(p-2)!可以由上面的tyt组成，那么我们有：
1≡(p-2)！（mod p）这样就有了：p|(p-2)!-1，那么结论成立了。
综合以上结论当n>5 时(n-1)| [(n-1)!/n]成立。
当然证明可能繁琐，还有些记号没做标注，但总体证明应该没错了。

Answer 2

这个问题本身有点问题，整除关系是在整数范围内讨论的，取n=5
则，（5-1）!/5=24/5 这不是一个整数，后再讨论 （5-1）是否整除 24/5 就没有意义了

追问

没看到有高斯函数么？这道题我老师已经讲了，要用威尔逊定理！在此还是谢谢你回答我的问题了