Question

将下列函数展开成x的幂级数，并写出收敛域。

Answer 1

如图所示，你看一下，其实就是变形，然后套用已经有的幂级数的展开公式，括号里的就是收敛域，因为必须都收敛，所以取交集！你自己试试看吧。

追问

这个是标准答案

追答

我的答案你把它化简一下，把那个x^n提取出来不就一样了吗……

这个应该会吧

Answer 2

∵x²-2x-3=(x+1)(x-3)，∴f(x)=(1/4)[1/(x-3)-1/(1+x)]。
而，当丨x丨<1时，1/(1+x)=∑(-x)^n；当丨x/3丨<1时，1/(x-3)=(-1/3)/(1-x/3)=(-1/3)∑(x/3)^n，n=0,1,2，……，∞，
取“丨x丨<1”和“丨x/3丨<1”的交集，有丨x丨<1。
∴f(x)=(-1/4)∑[1/3^(n+1)+(-1)^n]x^n，其中丨x丨<1，n=0,1,2，……，∞。
供参考。

Answer 3

解1：注意到一个等式的话,这个题就比较简单了
tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=π/4+arctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|+∞]
所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
解2：（来自星光下的守望者）
令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4
∫[0->x]g'(t)dt = g(x)-g(0)=g(x)-π/4
g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)��/(1-x)��]=1/(1+x��)
g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x] 1/(1+t��)dt+π/4
易知1/(1+t��)=1-t^2+t^4-t^6+…… |t|x] (1-t^2+t^4-t^6+……) dt
=π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]