Question

如图,正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,连接AP,过点P作EF⊥AP,EF交CD于F，交CB的延长线于E，交AB于G。问

若AE=2根号2，求AP长
求证EC=AB+DF
跪求，，，急啊

Answer 1

（1）解：因为 四边形ABCD是正方形，
所以 角ABE=90度，角DBC=45度，
因为 EF垂直于AP，角APE=90度，
所以 角ABE=角APE，
所以 A、E、B、P四点共圆，
所以 角EAP=角DBC=45度，
因为 角APE=90度，
所以 角AEP=45度，
所以 角EAP=角AEP，AP=EP，
因为 AP=EP，角APE=90度，
所以 AE=（根号2）AP，
因为 AE=2根号2，
所以 AP=2。
（2）证明：连结AF，过点F作FM//CB交BD于点M。
因为 角APF=90度，角ADC=90度，
所以 角APF+角ADC=180度，
所以 A、P、F、D四点共圆，
所以 角AFP=角ADP=45度，
所以 AP=FP。
因为 FM//CB，
所以 FM//EB=FP/EP，
因为 FP=EP，
所以 FM=EB，
因为 FM//CB，
所以 角DMF=角DBC=45度，
因为 角MDF=45度，
所以 角DMF=角MDF，
所以 DF=FM=EB，
因为 AB=BC，
所以 EC=BC+EB
=AB+DF。

Answer 2

连接CP，
∵ABCD是正方形 ，BD是对角线
∴AB=BC ∠ABP=∠CBP=45°
又∵BP=BP
∴△ABP≌△BCP
∴ AP=PC ∠BAP=∠PCB
∵AP⊥EF
∴∠APG=∠EBG=90度，所以
∴∠BAP=∠GEB(∠PEB)
∴∠PCB=∠GEB
∴△EPC是等腰三角形
∴PE=PC=AP
∴△APE是等腰直角三角形
∴AP=√(AE²/2)=√(8/2)=2
2、 连接AF
∵∠ADC=∠APF=90°
∴A、P、F、D四点共圆
∴∠PAF=∠PDF=45°
∵△APE是等腰直角三角形
∴∠EAB+∠BAP+∠PAF=∠EAF=90° (EA⊥AF)
∵∠DAB=90°
∴∠BAD+∠EAB=∠EAF+∠FAD即∠EAB=∠FAD
在△ADF和△ABE中
AD=AB ∠EAB=∠FAD ∠ADF=∠ABE=90°
∴△ADF≌△ABE
∴DF=BE
∴EC=BE+BC=DF+AB