Question

已知双曲线x^2-y^2/2=1，过点P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交与A.B两点，且点P为线段AB的中点

Answer 1

设有一点A在双曲线上，坐标为(x,y),x^2-y^2/2=1
与P为对称点B的坐标为:(2-x,2-y)
，设B也在曲线上，则：
(2-x)^2-(2-y)^2/2=1
4-4x+x^2-2+2y-y^2/2=1
2-4x+2y=0
y=2x-1
则A点坐标为（x,2x-1），则：
x^2-(2x-1)^2/2=1
2x^2-(4x^2-4x+1)=2
2x^2-4x+3=0
判别式=4^2-4*2*3=16-18<0，所以无解。
所以不能找到。

Answer 2

解：设直线L的方程为：
y-1=k(x-1)
即：y=kx+1-k将其带入双曲线的的方程得：
X^2-(k^2x^2+1+k^2+2kx-2k^2x-2k)/2=1
整理得：
X^2(2-k^2)+x(2k^2-2k)-k^2+2k-3=0
设x1，x2
为该方程的根，若要使得点P（1,1）是线段AB的中点，则必有：
X1+x2=2成立。
现在来验证这个结果是不是成立：
假设X1+x2=2成立：
根据韦达定理可得：
X1+x2=(2k^2-2k)/（k^2-2）=2
即：k=2
当k等于2时，方程即：
2X^2-4x+3=0
显然判别式=16-4*2*3=-8<0
即方程无解，说明在k=2的前提下，直线与双曲线无交点。
由此可见假设错误。
则可说明不存在这样的直线满足题意！