Question

足球由几个面组成?

Answer 1

12个五边形，20个六边形。
根据是欧拉定理。
对于凸的几何体，有V+F-L=2。
其中V表示顶点数，F表示面数，L表示棱数。
显然，本例中顶点数V=60。
设结构有x个五边形，y个六边形。
则总的面数为x+y。
每个五边形有5条棱边，每个六边形有6条棱边。而每条棱边在几何体中是由两个面公共的。
故总的棱数为(5x+6y)/2。
另外，
每个五边形有5个顶点，每个六边形有6个顶点。而每个顶点在几何体中是由三个面公共的。
故总的顶点数为(5x+6y)/3。
代入总的方程有
[(5x+6y)/3]+(x+y)-[(5x+6y)/2]=2
(5x+6y)/3=60
解得x=12，y=20。
即有12个五边形，20个六边形。

Answer 2

个黑块与5个白块相邻，每个白块与黑块的3条棱相关联，“足球”的每一个顶点恰好是黑块的一个顶点，等等。设“足球”的黑块数、白块数、面数、顶点数、棱数分别为x、y、F、V、E，则x＋y＝F，5x＝3y，3V＝2E，V＝5x。于是，
y=
x,E=
V=
x.
应用欧拉定理，有x
+
x
+
5x
-
x=2，解之得，x=12。从而y=20,F=32,V=60,E=90.所以，“足球”是由12个黑块（正五边形）和20个白块（正六形）组成的，有32个面，60个顶点，90条棱。