Question

计算下列定积分？

详细步骤 请手写，谢谢✨

Answer 1

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。 这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！ 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。 这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！ 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。 这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！ 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

(1) ∫(0，1) [x^(1/3) ＋x^(5/6)]dx
=3/4 x^(4/3) ＋6/11 x^(11/6) |(0，1)
=3/4＋6/11=57/44
(2)∫(1，2) (x＋1/x)dx
=(1/2 x²＋ln|x|)|(1，2)
=2＋ln2－1/2=3/2 ＋ln2
(3)∫(－1，1) e^|x|dx
=2∫(0，1) e^xdx
=2e^x|(0，1)
=2(e－1)
(4)∫(0，π) |cosx|dx
=2∫(0，π/2) cosxdx
=2sinx|(0，π/2)
=2
(5)∫(0，π/2) sinxcos3xdx
=∫(0，π/2) (sinxcosxcos2x－sin²xcos2x)dx
=∫(0，π/2) (1/4 sin4x－2sin³xcosx)dx
=(－1/16 cos4x－1/2 (sinx)^4)|(0，π/2)
=－1/16－1/2＋1/16
=－1/2
(6)∫(2，4) dx/(x²＋2x＋3)
=∫(2，4) dx/[(x＋1)²＋(∨2)²]
=1/∨2 arctan[(x＋1)/∨2] |(2，4)
=1/∨2 [arctan(5/∨2)－arctan(3/∨2)]
(7)∫(0，1) dx/∨(4－x²)
=arcsin(x/2) |(0，1)
=π/6
(8)∫(0，π/4) tan²xdx
=∫(0，π/4) (sec²x－1)dx
=(tanx－x)|(0，π/4)
=1－π/4