设A,B为n阶矩阵，且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0。
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简单分析一下，答案如图所示
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由已知得
a+b
=
(a+b)^2
=
a^2+b^2+ab+ba
=
a+b+ab+ba
所以有
ab+ba=0
左乘a
(a^2)b+aba=0
ab+aba=0
ab(e+a)=0
因为a^2=a,
所以a的特征值只能是0或1,
故e+a可逆所以有
ab
=
0.
a+b
=
(a+b)^2
=
a^2+b^2+ab+ba
=
a+b+ab+ba
所以有
ab+ba=0
左乘a
(a^2)b+aba=0
ab+aba=0
ab(e+a)=0
因为a^2=a,
所以a的特征值只能是0或1,
故e+a可逆所以有
ab
=
0.
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