Question

如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．

Answer 1

问题是1） FG与DC位置关系？ FG与DC数量关系？
2)若将△BDE绕点B逆时针旋转180° 其他条件不变 试判断结论是否依然成立吧！！
是点E在AB边上吧！！
解：FG⊥DC, FG=½DC。证明如下：
如图：连接GB，过点G作GM‖CA交AB于M、作GN‖CB交AB于N.
已知:GMN为等腰直角三角形，GM=GN, ∠GMF=∠GNB。
N为EB的中点、M为AB的中点。FM=AM-AF=½AB-½(AB-EB)=½EB=NB。
故△FMG≌△BNG。得FG=BG, ∠FGM=∠BGN。
GB为Rt△BCD斜边上的中线，则GB=½DC。
所以FG=½DC。
∵∠DGN=∠GCB=∠GBC=∠BGN=∠FGM.
∴∠FGD=∠FGM+∠DGM=∠DGN+∠DGM=∠MGN=90°,即：FG⊥DC。
（2）FG⊥DC, FG=½DC依然成立。

Answer 2

解：（1）FG⊥CD，FG=1/2CD．
（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，
∴四边形BCMD是矩形．
∴CM=BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ED=BD=CM．
∵∠AEM=∠A=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中点，
∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．
∵在△EFD和△MFC中：DE=MC，∠DEF=∠CMF，EF=MF
∴△EFD≌△MFC．
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．
又∠EFD+∠DFM=90°，
∴∠MFC+∠DFM=90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中点，
∴FG=1/2CD，FG⊥CD．

Answer 3

（1）FG⊥CD，FG=
1
2
CD．
（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，
∴四边形BCMD是矩形．
∴CM=BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ED=BD=CM．
∵∠AEM=∠A=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中点，
∴MF⊥AE，EF=MF，∠DEF=∠FMC=45°．
∴△EFD≌△MFC．
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．
又∠EFD+∠DFM=90°，
∴∠MFC+∠DFM=90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中点，
∴FG=
1
2 CD，FG⊥CD．