Question

为什么若干个初等矩阵的乘积不一定是初等矩阵，但一定是可逆矩阵

Answer 1

1.
方阵ab的秩r(ab)≤min{r(a),r(b)}≤2，a为3*2,b为2*3，他们的秩最大为2，而三阶方阵可逆的充要条件是r(ab)=3，所以ab一定不可逆
2.
初等矩阵为单位阵
i（也有的版本是e，总之是单位阵啦）
作1次初等变换得到的矩阵，设这两个n阶初等矩阵为e1,e2,则由初等矩阵的性质，必存在n阶可逆方阵p1,q1;p2,q2,使得e1=p1·i·q1,
e2=p2·i·q2.（这个性质在书上应该查得到，在初等变换里面的）。所以e1e2=p1·q1·p2·q2。p1,q1,p2,q2均为n阶可逆方阵，故e1e2为n阶可逆方阵。
3.
第三个我没太明白题目的意思。
要是“a为三阶方阵，若a的平方不等于0，|a|=0，则a不等于0，”这个是正确的。三阶方阵a的秩r(a)≥r(a的平方)（秩的性质），a的平方不等于0，则r(a的平方)≥1，故r(a)≥1，所以a不等于0（零矩阵的充要条件是秩等于0）
要是“若a为三阶方阵，则a不等于0，a的平方不等于0，|a|=0”，显然a为三阶方阵是推不出来a不等于0，a的平方不等于0，|a|=0的，比如三阶单位阵。
要是“a为三阶方阵，若a不等于0，a的平方不等于0，则|a|=0”这个也不对，反例仍然可以是三阶单位阵。
要是“a为三阶方阵，若a的平方不等于0，则|a|=0，a不等于0，”这个也不对，反例仍然可以是三阶单位阵。
罗嗦了这么多，希望对你有帮助～期末考试加油啊！
如果觉得不错顺便采纳为最佳答案吧：）

Answer 2

初等矩阵是指
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
1
1
*
0
1
=
1
2
0
1
1
1
1
1
这就不是一个初等矩阵
因为任意一个可逆矩阵都可以表示成若干个初等矩阵相乘，这是可逆的充要条件。
所以，乘积一定是可逆矩阵，但不一定是初等矩阵。