Question

n条直线把平面最多分成多少个部分？100条？

Answer 1

这是平面上的n条直线最多可把平面分成为多少个部分的题目。
在上世纪关于这样的问题有不少刊物都有讨论。
就我的记忆重复一下。
首先是直线上的n个点可以把直线分成n+1个部分。
设k条直线可把平面最多分成f(k)个部分，
那么再加入一条直线，使它与原来的k条直线的每一条都相交，且不过原来的任意两条直线的交点。
那么后加入的这条直线与原来的k条直线共有k个交点，这k个交点把这条直线分割为k+1份，而每一份，都把它所在的原来的那一份分成两部分。从而增加为k+1条直线时，把平面分成的份数最多可增加k+1份。因此有
f(k+1)=f(k)+k+1
显然f(1)=2
f(2)=f(1)+1+1=4
f(3)=4+2+1=7
f(4)=7+3+1=11
显然2,4,7,11,…是一个二阶等差数列，用华罗庚的《从杨辉三角谈起》给出的方法
对其初等差分得
2,
4,
7,
11
2,
3,
4
1,
1
因此f(n)=2+2*(n-1)+(n-1)(n-2)/2
从应用角度看，上面的形式是很适用的，展开化成关于n的多项式的形式为：
f(n)=(n^2+n+2)/2
对本题可有方程
(n^2+n+2)/2=182
n^2+n-362=0
解方程得n≈18.53
因此至少要切19刀
因为18刀切最多可切172块，要想达到前18刀切172块，必须任何两刀的切口不平等，任何三刀的切口不经过同一点。任意两刀的切口交点在橡皮面内。
那么第19刀的切口在橡皮面内只与原来的18个切口的9个相交于橡皮面内，就可把橡皮恰好切成182块。
而19刀最多可把橡皮切为191块
因此块数少于191块的切法不唯一。

Answer 2

n条直线把平面最多分成(n^2+n+2)/2个部分
100条直线把平面最多分成(100^2+100+2)/2=5051个部分

Answer 3

如果要详细地说很复杂，即第(n+1)条直线与前n条直线相交所多出的区域，但不妨用数学归纳法来解，因为这本身就是一道数列题。
易知：
1条直线分为2个区域
2条最多(2+2=4)个区域
3条最多(4+3=7)个区域
4条最多(7+4=11)个区域
若设an为n条直线最多分割出的区域，则从上面数据猜测得
an=a(n-1)
+n
运用累加的方式得出an=(n^2+n+2)/2
论证就不多详述了
那么100条的话就是a100=5051