Question

根号下1+x^2的不定积分是多少,要过程或说明方法

根号下1+x^2的不定积分是多少,要过程或说明方法

Answer 1

具体回答如下：

令x=tanu，u∈（-π/2,π/2）

∫√（1+x²）dx

=∫sec³udu

=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu=secutanu+1/2ln|secu+tanu|-∫secudu

∫sec³udu

=1/2（secutanu+ln|secu+tanu|）+C

∫√（1+x²）dx=1/2（x√（1+x²）+1/2ln（x+√（1+x²）））+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

利用第二积分换元法,令x=tanu,u∈（-π/2,π/2）,则∫√（1+x²）dx=∫sec³udu=∫secudtanu=secutanu-∫tanudsecu=secutanu-∫tan²usecudu=secutanu-∫sec³udu+∫secudu=secutanu+1/2ln|secu+tanu|-∫secudu,所以∫sec³udu=1/2（secutanu+ln|secu+tanu|）+C,从而∫√（1+x²）dx=1/2（x√（1+x²）+1/2ln（x+√（1+x²）））+C