Question

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx2．当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．

（3）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]有f（x）=ax-bx^2≥-b≥-1，即f（x）≥-1；
f（x）≤1⇒f（1）≤1⇒a-b≤1，即a≤b+1，
又a≤b+1⇒f（x）≤（b+1）x-bx2≤1，即f（x）≤1．
所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b+1．
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1.为什么：ax-bx^2≥-b
2.为什么对称轴大于1？

Answer 1

1.
0≤x≤1, a>0
ax>0
ax-bx^2>-bx^2..............................(1)
0≤x≤1
0≤x^2≤1, b>0
0≤bx^2≤b
-bx^2≥-b
结合（1），即得 ax-bx^2≥-b

2.
这里没有对称轴的问题，函数f(x)也没有对称轴，f（x）≥-1是由刚才说明的1.推出来的。
因为 f(x)=ax-bx^2 而 ax-bx^2≥-b， -b又≥-1

追问

请问为什么代入x=1 而不是别的数字？
如果f(1)不是峰值，怎么能代入呢？
很期待您的帮忙，我实在想不明白，谢谢了

追答

这里用x=1代入的做法是有问题的，应该讨论f(x)在[0,1]的最大值M，而因为已经证明了
f(x)≥-1, 所以|f(x)|≤1当且仅当 f(x)≤1 当且仅当M≤1，由此得出结论来。

追问

看不太明白，您还是没有说为什么x=1时就是最大值呢？

追答

这道题叙述起来有点复杂了，完整的讨论应该是这样的：
前面已经证明了： 在给定条件下，f(x)≥-1 总是成立的，因此下面只要讨论 f(x)≤1 成立的条件：
(1) 如果x=a/(2b)∈[0,1] , 则f(x) 当x=a/(2b)时达到最大值，而 f[a/(2b)]=a^2/(4b)=b[a/(2b)]^2≤b≤1
(2) 如果a/(2b)>1, 则 f(x) 当x=1 时达到最大值 而f(1)=a-b, 所以此时 f(x)≤1 当且仅当 a-b≤1, 即a≤b+1
现在要利用这两条综合出一个统一的f(x)≤1的充要条件来：
先来说明： a≤b+1=>|f(x)|≤1
在a≤b+1的条件下，有两种情况：(i) a/(2b)≤1, 此时由（1）知f(x)≤1
(ii) a/(2b)>1, 此时由（2）知f(x)≤1， 因此总有f(x)≤1, 因而也有 |f(x)|≤1
这就说明了 a≤b+1是|f(x)|≤1成立的充分条件。
再来说明 |f(x)|≤1=>a≤b+1
在|f(x)|≤1 当且仅当 f(x)≤1, 由(1)(2)知道，要么 a/(2b)≤1， 要么a≤b+1
而 a/(2b)≤1=>a≤2b=b+b≤b+1, 因而总有 a≤b+1
这就说明了a≤b+1是|f(x)|≤1成立的必要条件。

Answer 2

当x=0时，f(0)=0
当x≠0时
│f(x)│≤1等价于│x│*│a-bx│≤│等价于│a-bx│≤1/│x│等价于bx-1/│x│≤a≤bx+1/│x│
当0<b<1时，在区间（0，1】上，函数bx-1/│x│为增函数，最大值为b-1<0
函数bx+1/│x│为减函数，最小值为b+1
又a>0
故当a>0，0<b<1时，对任意的x属于[0,1],f(x)的绝对值小于等于1的充要条件是a≤b+1