Question

如图正四面体ABCD，E为棱BC上的动点，则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．

Answer 1

作EF//BD,交CD于F.
连接AF.
知AE
=AF.
则角AEF即为BD与AE所成的角.
设BC=a,
BE
=
x.
则AE^2
=
a^2
+
x^2
-
2*
a*
x*co
s60
度=
a^2
+
x^2
-
ax.
(
余弦定理
)
EF=
EC
=
a-x.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos角AEF=
AE^2
+EF^2
-AF^2]/[2*AE*EF]=
EF/[2*AE]
=
(1/2)*(a-x)/
根号
(a^2
+x^2
-ax)
=
(1/2)根号{(a-x)^2/[(a-x)^2
+ax]}=(1/2)根号{1/[1+ax/(a-x)^2
]}
容易证明:函数y=
ax/(a-x)^2
在区间(0,a)单调增加.从而cos角AEF单调减少
作EF//BD,交CD于F.
连接AF.
知AE
=AF.
则角AEF即为BD与AE所成的角.
设BC=a,
BE
=
x.
则AE^2
=
a^2
+
x^2
-
2*
a*
x*cos60度=
a^2
+
x^2
-
ax.
(余弦定理)
EF=
EC
=
a-x.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos角AEF=
AE^2
+EF^2
-AF^2]/[2*AE*EF]=
EF/[2*AE]
=
(1/2)*(a-x)/根号(a^2
+x^2
-ax)
为分析,将其写为:
=
(1/2)根号{(a-x)^2/[(a-x)^2
+ax]}=(1/2)根号{1/[1+ax/(a-x)^2
]}
容易证明:函数y=
ax/(a-x)^2
,在区间(0,
a),
y'
=
a(a+x)/(a-x)^3
>0
在区间(0,a)单调增加.从而cos角AEF单调减少.
故知:cos角AEF
取值范围
为:
[0,
1/2]
(x=0,在B点最大,
x-a
在C点最小)