Question

设集合A={1，2，3,4}，则从A到A的映射f中，满足f[f（x）]=f（x）的映射的个数是（　　）

Answer 1

令f(A)
=
B，且f(x)
=
y
∈
B，从而若要使得f[f(x)]
=
f(x)，则必须
f(y)
=
y
∈
B，注意这里B是A的子集。
B的元素个数（即|B|）可能是1、2、3或者4.
如果|B|
=
1，即B
=
{a}，那么对任意的x
∈
A,
f(x)
≡
a，此时共有C(4,1)
=
4个映射满足
题设
条件。
如果|B|
=
2，即B
=
{a,
b}，那么必然f(a)
=
a,
f(b)
=
b，且对任意x
∈
A,
f(x)
=
a或b.
a和b有C(4,2)
=
6种组合，而每当a和b固定时，f的选择又有4种，因此此时共6
*
4
=
24个映射。
如果|B|
=
3，即B
=
{a,
b,
c}，那么必然f(a)
=
a,
f(b)
=
b,
f(c)
=
c，且对任意x
∈
A,
f(x)
=
a或b或c.
a,
b,
c有C(4,3)
=
4种组合，而每当a,
b,
c固定时，f的选择有3种，因此此时共4
*
3
=
12个映射。
最后，如果|B|
=
4，那么唯一的可能就是整个A上的恒同映射，1种。
所以，总计有4
+
24
+
12
+
1
=
41种满足题设条件的映射。
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只是提供个思路，不保证计算无误……反正我经常算错。

Answer 2

解:
从a到a的映射有:
(1)1对应2
,
2对应1
(2)1对应1
,
2对应2
(3)1对应1
,
2对应1
(4)1对应2
,
2对应2
令x=1
对(1):
左:f[f(1)]=f[2]=1
右:f(1)=2
左右不等,则(1)不满足f[f（x）]=f(x)
对(2):
左:f[f(1)]=f[1]=1
右:f(1)=1
再令x=2,左右仍相等,则(2)满足f[f（x）]=f(x)
对(3):
左:f[f(1)]=f[1]=1
右:f(1)=1
再令x=2,左右仍相等,则(3)满足f[f（x）]=f(x)
对(4):
左:f[f(1)]=f[2]=2
右:f(1)=2
再令x=2,左右仍相等,则(4)满足f[f（x）]=f(x)
综上,共
3
个从a到a的映射满足f[f（x）]=f(x)