Question

证明 线性代数 线性相关 求详解！

（6）设 A 是 n 阶可逆矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，证明（A*)^(-1)=(A^(-1))*

Answer 1

(1)证明: 由已知, (A-E)(B^T-E)=E

所以 AB^T-A-B^T=0

所以 A(B^T-E)=B^T

又由B可逆, 所以B^T可逆

所以A可逆.

(3)

Answer 2

(1) (A-E)^(-1)=(B-E)^T
E=(A-E)(B^T-E)
(A-E)B^T=-A
(A-E) B^T 都可逆，所以A也可逆。
（2）由于X1，X2是基础解系，故X1，X2线性无关
假定X1，X2，X*线性相关，则有
X*=k1X1+k2X2 两边左乘A得
AX*=A（k1X1+k2X2）
0≠b=AX*=A（k1X1+k2X2)=0 矛盾
所以 X1，X2，X*线性无关
(3) a)当α1，α2，……αs线性无关，则存在不全为零的k1,k2,……ks (不妨设k1≠0)使
k1α1+k2α2+,……+ksαs=0
α1= -(k2α2+,……+ksαs) /k1 α1被其余向量线性表示
b)当αi=k1α1+,……k(i-1)α(i-1)α(i-1)+k(i+1)α(i+1)α(i+1)+……+ksαs
则k1α1+,……k(i-1)α(i-1)α(i-1)+αi+k(i+1)α(i+1)α(i+1)+……+ksαs=0
α1，α2，……αs线性相关
（4）令kl(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0整理得
(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0
而α1，α2，α3线性无关
故k1+k3=k1+k2=k2+k3=0，得k1=k2=k3=0
所以α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关
(5)同(4)