已知0º＜β＜α＜45º；求证：sinα+cosα＞sinβ+cosβ
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证明：
不等式左边平方：(sinα+cosα)^2=(sinα)^2+2sinαcosα+(cosα)^2=1+sin2α
同理，不等式右边平方得1+sin2β
所以(sinα+cosα)^2-(sinβ+cosβ)^2=1+sin2α-1-sin2β=sin2α-sin2β
因为正弦函数在[0°，45°]上是增函数，所以sin2α-sin2β＞0，即(sinα+cosα)^2>(sinβ+cosβ)^2
两边开方，有|sinα+cosα|>|sinβ+cosβ|
又因为在[0°，45°]上，有sinα+cosα>0，sinβ+cosβ>0，所以去掉绝对值符号之后，不等号方向不变，所以有sinα+cosα＞sinβ+cosβ，得证。
不等式左边平方：(sinα+cosα)^2=(sinα)^2+2sinαcosα+(cosα)^2=1+sin2α
同理，不等式右边平方得1+sin2β
所以(sinα+cosα)^2-(sinβ+cosβ)^2=1+sin2α-1-sin2β=sin2α-sin2β
因为正弦函数在[0°，45°]上是增函数，所以sin2α-sin2β＞0，即(sinα+cosα)^2>(sinβ+cosβ)^2
两边开方，有|sinα+cosα|>|sinβ+cosβ|
又因为在[0°，45°]上，有sinα+cosα>0，sinβ+cosβ>0，所以去掉绝对值符号之后，不等号方向不变，所以有sinα+cosα＞sinβ+cosβ，得证。
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