Question

设a，b，c，x，y和z均为实数，且a²+b²+c²=25，x²+y²+z²=36，ax+by+cz=30。

Answer 1

柯西不等式
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)>=(ax+by+cz)²
当a/x=b/y=c/z取等号
因为25×36=30²
所以这里就是取等号
所以a/x=b/y=c/z
所以a²/x²=b²/y²=c²/z²=(a²+b²+c²)/(x²+y²+z²)=25/36
所以a/x=b/y=c/z=±5/6
即a/x=b/y=c/z=(a+b+c)/(x+y+z)=±5/6
所以(a+b+c):(x+y+z)=±5/6

Answer 2

由柯西不等式：
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)>=(ax+by+cz)^2.
而本题中
a^2+b^2+c^2=25，x^2+y^2+z^2=36，ax+by+cz=30.
恰好有
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2，即柯西不等式的等号成立。
根据柯西不等式的取等条件，必有
a/x=b/y=c/z，所以
a^2/x^2=b^2/y^2=c^2/z^2，因此有
a^2/x^2=b^2/y^2=c^2/z^2=(a^2+b^2+c^2)/(x^2+y^2+z^2)=25/36，从而由a,b,c,x,y,z均为正实数可知
a/x=b/y=c/z=5/6.
进而
(a+b+c)/(x+y+z)=5/6.