Question

复变函数问题 ∫|z-1|=1 1/z^2-2 dz =

Answer 1

是求∫{0,1}
(z-i)e^(-z)dz
?
这样的话其实没有太多复变内容.
就按定积分的方法来做就行了.
∫{0,1}
(z-i)e^(-z)dz
=
∫{0,1}
ze^(-z)dz-i·∫{0,1}
e^(-z)dz
=
-e^(-1)+∫{0,1}
e^(-z)dz-i·∫{0,1}
e^(-z)dz
=
-1/e+(1-i)(1-1/e)
=
1-2/e-i(1-1/e).
如果硬要加入一点复变内容,
可以说沿0到1的任意光滑曲线的积分都得上面的结果.
原因是被积函数在整个复平面上解析,
由Cauchy定理保证积分与路径无关.