Question

判断题:任意矩阵A与它的伴随矩阵A*有完全相同的特征向量.

Answer 1

分两种情况考虑:
1.如果A可逆,则原命题成立.
A*=A^(-1)*const
const是一个常数
设V是A的特征向量,设V的特征值为L
则:
V=I*V
=
A^(-1)*A*V=A^(-1)*L*V
所以
A^(-1)*V=V/L
所以V是A^(-1)的特征向量.
因为A^(-1)和A*只差常数.
所以V是A*的特征向量.
2.如果A是奇异的(不可逆).
则原命题不一定成立,反例如下:
A:=matrix([[-3,
6,
-3],
[6,
-12,
6],
[-3,
6,
-3]])
则
A*=matrix([[0,
0,
0],
[0,
0,
0],
[0,
0,
0]])
所以，任意的向量都是A＊的特征向量．但并不是任意向量都是A的特征向量．

Answer 2

你记错了吧！
a可对角化的充要条件是a有n个线性无关的特征向量。
a的n个特征向量正交，
说明a可正交对角化，
a必然是实对称矩阵。