Question

已知函数f(x)=loga x-2/x+2使定义域[m,n]值域为[loga n+1,loga m+1]求实数a的取值范围

Answer 1

显然a＞0且a≠1，m＞0
∵m＜n,㏒an＋1＜㏒am＋1
∴0＜a＜1
f′﹙x﹚＝1／x﹙1／㏑a＋2／x﹚
∴0＜x＜﹣2㏑a时，f﹙x﹚单调递增；x＞﹣2㏑a时，f﹙x﹚单调递减
①当m＞﹣2㏑a时，f﹙m﹚＝㏒am＋1，则m＝2
∴a＞1／e
②当n＜﹣2㏑a时，f﹙n﹚＝㏒am＋1
f﹙m﹚＝㏒an＋1
两方程相加得
1／m＋1／n＝1
∴2／n＜1,即n＞2
∴a＜1／e
③当m＜﹣2㏑a＜n时，f﹙﹣2㏑a﹚＝㏒am＋1
又有㏒am＞㏒a﹙﹣2㏑a﹚，将此不等式与上面的方程联立可解得a＜1／e