Question

如图，在四边形ABCD中，AB＝CD,M.N.P.Q分别是AD.BC.BD.AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分

Answer 1

连接M、P、N、Q，证四边形MNPQ为菱形，方法是：因为P、N为中点，所以PN//CD且PN＝1/2CD,因为M、Q为中点，所以MQ//CD且MQ＝1/2CD，所以PN平行且等于MQ，同理得到MP平行且等于NQ，又AB＝CD，所以MP＝NQ＝PN＝MQ。

Answer 2

证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM=MD，BP=PD，
∴PM=1/2AB
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB；
同理NQ=1/2AB,NQ∥AB，MQ=1/2DC
∴PM=NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．（3分）
又∵AB=DC，∴PM=MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形．（5分）
∴MN与PQ互相垂直平分．（6分）

Answer 3

解，连接mq,qn,np,pm.只需证明mqnp是一个菱形就可以了，在△acd中，mq是中位线，∴mq∥cd,且mq=1/2cd,同理，在△bcd中，pn是中位线，∴pn∥cd,pn=1/2cd,∴mq∥pn,mq=pn.∴mqnp是一个平行四边形，∵在△abd中，mp是中位线，∴mp=1/2ab,∵ab=cd,∴mp=mq,∴mqnp是一个菱形，∴mn与pq互相平分。

Answer 4

证明：连结MP、PN、NQ、QM
∵M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点
∴MP=NQ=1/2AB，PN=QM=1/2CD
∵AB＝CD
∴MP=NQ=PN=QM
则MPNQ是菱形，所以MN与PQ互相垂直平分