Question

证明二元函数极限不存在问题

Answer 1

多元函数的极限要证明存在是不容易的，要证明不存在则是非常容易的，只要选择一种方式使极限不存在或选择两种方式使极限不相等，就可以得到极限不存在的结论了。
lim
0,y-->0>[√(xy+1)-1]/(x+y)
=lim
0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]
这步是等价无穷小代换，是没有问题的。
沿y=0，lim
0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]=lim
0>0/(2x)=0
沿y=-x+x^2，lim
0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]
==lim
0>(-x^2+x^3)/[2(x^2)]=-1/2
两种方式极限不相等，所以原来的极限不存在。