Question

三元二次方程组的解法

三元二次方程组怎么解啊?
f1=(x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2-r1(i)^2=0;
f2=(x-x2)^2+(y-y2)^2+(z-z2)^2-r2(i)^2=0;
f3=(x-x3)^2+(y-y3)^2+(z-z3)^2-r3(i)^2=0;
f4= (x-x4)^2+(y-y4)^2+(z-z4)^2-r4(i)^2=0;

Answer 1

如果i是已知数, 三个未知数4个方程太多了, 通常会是无解的.
只考虑前3个方程可以这样解:
观察f1-f2, 可以知道未知数的二次项x²+y²+z²刚好消掉.
即得到一个关于x, y, z的一次方程.
同理f1-f3得到另一个关于x, y, z的一次方程.
联立两个一次方程, 一般情况下可以消元用一个未知数表示另两个.
形如y = ax+b, z = cx+d这样.
将其代入f1, 得到关于x的一元二次方程, 求解(可能有两个实根), 再代回算出对应的y, z即可.
如果i也是未知数, 而r1(i)²是表示r1·i²的意思, 那么也可以求解.
首先通过f1·r2-f2·r1, f1·r3-f3·r1, f1·r4-f4·r1消去i²项, 得到关于x, y, z的3元二次方程组.
注意到三个方程的二次项分别为(r2-r1)(x²+y²+z²), (r3-r1)(x²+y²+z²), (r4-r1)(x²+y²+z²),
通过适当消元仍然可以消去二次项得到关于x, y, z的两个一次方程.
之后的做法和上面一样, 解出x, y, z最后再代回f1求出i即可.
如果i是未知数, 而r1(i)是表示关于i的函数, 那么就要看具体的函数形式求解.
函数复杂的话, 很有可能解不出来.