Question

分段函数求导

Answer 1

因为导函数连续
那么导数值才等于导函数的函数值，这是连续的定义了。
你可以记住，凡是分段函数，在他各段的分界点处的导数
就用定义去求，其他可直接使用导数公式。
楼主的这个分段函数
用定义求在0点的导数值应该是0
就是连续，只不过用了导函数的连续性。
连续：函数在一点的极限值=他在这一点的函数值，这就是函数在这一点连续的定义。所以如果导函数在一点连续，那么我们就可以通过导函数在这一点的函数值来表示它的极限值。
但分段函数的导数在其断点处不一定连续，所以一般不能用导数公式去求
楼上被采纳的回答，导函数的确是在导数定义之后定义的，但是不是你求所有导函数的时候
都是用的导数定义？否则就没法求了？你说的一定范围每个点都可视作基点，所以用x，那x在这个范围内具有任意性，你求出来的那个极限可不可以看做导函数呢？本来很简单的问题，让你越说越复杂。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

第一问：
老师前半句说的话相当对，但是对初学者理解这道题起不到什么作用。函数的导数还没解决，再整导数的函数岂不是更凌乱。
至于后半句·····请问“先用求导公式求导”这个所谓错误怎么犯？此题在0处，哪里有可用的求导公式？
忽略老师的话吧，他也许是怕你们还理解不了深入的，先让你们记住现成的结论。
分段函数求导，那么重点不是求导，而是分段函数！搞清楚分段函数的前世今生，才能把握其特性，才能在特殊中总结出一般。
此题所谓“分段函数”，都是高手们站在一定的高度概括出来的，数学语言的优美性使得初学者很容易进坑。
这函数的实质那里是什么“分段”，明明就是一个大函数，走到0这个地方，突然不能定义了，才只好另作说明：“哥走到0这里会变成0，别思念过去的哥了”。这正是高等数学中“函数可去间断点”的定义。可去间断点虽然间断，但仍然可以求极限。导数又是特殊的极限，自然联想到用求极限的方式求导数喽！
所谓“分段函数”，还有一种类型：就是X大于某数有一个表达式，X小于等于某数有一个表达式。这个才是真正的分段函数（但其实深究，也不过是两个互不相干的函数在此点相交，各取一段，出一个大表达式来唬人罢了，哥不是夏大的！）。
第二问：
导函数只不过是一种特殊的函数，你用函数的思维考察导函数就行了。你会发现第二问你问的相当幼稚，肯定是被引导的钻牛角尖了。
最后，至于“分段函数分段点必须要用定义求导”。世界上没有这么多必须的事儿，用求导公式也可以照求不误！反而用求定义极为复杂。只不过对函数形式有要求，还有点连续的条件才能达到。
这么多年过去了，不晓得楼主是否已经搞明白了呢？