Question

求(sinx/x)^（1/x²）在x→0时的极限

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

x→0
lim
(sinx/x)^(1/x^2)
=lim
e^ln
(sinx/x)^(1/x^2)
=e^lim
ln
(sinx/x)^(1/x^2)
考虑
lim
ln
(sinx/x)^(1/x^2)
=lim
ln(sinx/x)
/
x^2
=lim
ln(1+sinx/x
-
1)
/
x^2
利用等价无穷小：ln(1+x)~x
=lim
(sinx/x
-
1)
/
x^2
=lim
(sinx-x)/x^3
该极限为0/0型，利用l'hospital法则
=lim
(sinx-x)'
/
(x^3)'
=lim
(cosx-1)
/
(3x^2)
该极限为0/0型，利用l'hospital法则
=lim
(cosx-1)'
/
(3x^2)'
=lim
-sinx
/
6x
根据重要的极限：lim
sinx/x=1
=-1/6
因此，原极限=e^(-1/6)
有不懂欢迎追问