设0<a<b 求证 ln(b/a)>2(b-a)/(a+b)
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ln(b/a)-2(b-a)/(b+a)
=ln(b/a)-2(b+a-2a)/(b+a)
=ln(b/a)-2+4a/(b+a)
=ln(b/a)+4/[(b/a)+1]-2
令b/a=x
因为0<a<b所以b/a=x>1
则上式=lnx+4/(x+1)-2
令f(x)=lnx+4/(x+1)-2
f'(x)=1/x-4/(x+1)^2
=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]
=(x-1)^2/x(x+1)^2>0
所以f(x)是增函数
f(x)>f(1)=0
所以lnx+4/(x+1)-2>0
即ln(b/a)>2(b-a)/(a+b)
=ln(b/a)-2(b+a-2a)/(b+a)
=ln(b/a)-2+4a/(b+a)
=ln(b/a)+4/[(b/a)+1]-2
令b/a=x
因为0<a<b所以b/a=x>1
则上式=lnx+4/(x+1)-2
令f(x)=lnx+4/(x+1)-2
f'(x)=1/x-4/(x+1)^2
=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]
=(x-1)^2/x(x+1)^2>0
所以f(x)是增函数
f(x)>f(1)=0
所以lnx+4/(x+1)-2>0
即ln(b/a)>2(b-a)/(a+b)
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