Question

an=-1+3-5+7-…＋(-1)n(2n-1),求{an}前n项和Sn

Answer 1

首先，由题意知：
a1=-1;
a2=-1+3;
a3=-1+3-5;
......
an=-1+3-5-...+(-1)^n*(2n-1)
又因为：
Sn=a1+a2+a3+......an=-1+2-3+4-......+(-1)^n*n
列表如下：
S1=-1;
S2=1;
S3=-2;
S4=2;
S5=-3;
S6=3;
……
由上得：
当为奇数时：Sn=n/2
当为偶数时：Sn=-(n+1/2)

Answer 2

∵an=-1+3-5+7-……+（-1）^n*(2n-1)
所以讨论
当n为奇数时有
an=-1+3-5+7-……+(-1)(2n-1)
an={(-1+3)+(-5+7)-(9+11)-……[-(2n-5)+(2n-3)]}+(-1)(2n-1)
共(n-1)/2个2
第n个

=2*(n-1)/2+1-2n

=-n
由通项公式知奇数项为等差数列首项a1=-1
∴奇数项的和设为F(n)
F(n)=(a1+an)(项数)/2

=(-1-n)[(n-1)/2+1]/2

=-(n+1)²/4
当n为偶数数时有
an=-1+3-5+7-……+(2n-1)

=(-1+3)+(-5+7)-(9+11)-……[-(2n-3)+(2n-1)]
共n/2个2

=2*n/2

=n
由通项公式知偶数项为等差数列首项a2=2
∴偶数项的和设为T(n)
T(n)=(a2+an)(项数)/2

=(2+n)(n/2)/2

=n(2+n)/4
∴前n项的和=奇数和+偶数和
当n为奇数时
n-1为偶数
sn=F(n)+T(n-1)

=-(n+1)²/4+(n-1)(2+n-1)/4

=-(n+1)/2
当n为偶数时
n-1为奇数
sn=F(n-1)+T(n)

=-(n-1+1)²/4+n(2+n)/4

=n/2

综上
当n为奇数时
sn=-(n+1)/2
当n为偶数时
sn=n/2