Question

N阶行列式

Answer 1

方法：递推法
记所求行列式为Dn
最后一行拆分为：0
0
0
……1
和
ana1
ana2
ana3
……an^2
这样行列式变成两个行列式相加，前者按照最后一行展开为行列式D(n-1)，后者先从最后一行提取公因子an，再把最后一行分别乘以－a1，－a2，－a3，……，－a(n-1)加到第一行，第二行，第三行，……，第n-1行，化成一个n阶下三角行列式，对角线元素是1，1，1，……，1，an，所以结果是an^2
所以，Dn＝D(n-1)＋an^2
又D1＝a+a1^2，D2＝a＋a1^2＋a2^2，所以
Dn＝D(n-1)＋an^2＝D(n-1)＋a(n-1)^2＋an^2＝……＝D1＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2＝1＋a1^2＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2

Answer 2

这是一个行和行列式，第一步，将行列式的每一列加到第一列，得到n-1，将n-1提出来，行列式变为
1
1
1…1
1
1
0
1…1
1
1
1
0…1
1
…………
1
1
1…
0
1
1
1
1…
1
0
第二步，让每一行去减第一行，得到一个上三角行列式
1
1
1…
1
1
0
-1
0…0
0
0
0
-1…0
0
…………
0
0
0…
-1
0
0
0
0…
0
-1
所以，最后结果就是(n-1)(-1)^(n-1)