Question

已知∠ABC＝2∠C,AD平分B∠BAC，M为BC的中点，过M作AD的垂线交AD的延长线于F，交AB的延长线于E。求BD=2BE

Answer 1

1.
在AC上截取一段AB'，使AB'=AB；证明三角形AB'D全等三角形ABD。所以DB=DB'，∠AB'D=∠ABD=2∠C
因为∠AB'D=∠C+∠B'DC，所以三角形B'CD是等腰三角形。B'C=B'D=DB
2.G为EM延长线在AC上的焦点。证三角形AFG与三角形AFE是全等三角形（直角三角形中，两个角相等，共边），所以AG=AE，∠AGM=∠AEF又因为AB'=AB，所以B'G=BE
3.过B点做AC的平行线交EM于H点
因为∠GMC和∠BME是对顶角，CM=BM，∠C=角MBH（平行线内错角相等），所以三角形CGM全等于三角形BMH。所以BH=CG，∠BHE=∠AGM=∠AEF，所以三角形BHE是等腰三角形，BE=BH=CG
4.所以BD=DB'=B'C=B'G+GC=BE+BE=2BE