Question

已知函数f（x）=x3-ax+b在x=2处取得极值为-8． （1）求a，b的值；...

已知函数f（x）=x3-ax+b在x=2处取得极值为-8． （1）求a，b的值； （2）当x∈[-3，3]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f′（2）=0，f（2）=-8，联立方程组即可求得a，b；
（2）由（1）可求得f（x），f′（x），利用导数即可求得函数在x∈[-3，3]时的最大值、最小值，从而求得值域；
解答：解：（1）f′（x）=3x2-a，
根据题意得：f′（2）=12-a=0①，f（2）=8-2a+b=-8②．
联立①②解得a=12，b=8．
所以a=12，b=8．
（2）由（1）知：f（x）=x3-12x+8，f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）=0得x=±2，
当x＜-2或x＞2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以当x=-2时f（x）取得极大值，f（-2）=24，当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=-8．
又f（-3）=17，f（3）=-1，
所以当x∈[-3，3]时，fmax（x）=24，fmin（x）=-8．
所以所求函数值域为：[-8，24]．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及函数在闭区间上的最值求解，属中档题，f′（x）=0是可导函数f（x）在x处取得极值的必要非充分条件．