Question

定义法证明二元函数Z=xy可微？

Answer 1

元函数可微性定义：

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零.则称f在P0点可微.

本题：

△z=（x0+△x）（y0+△y）-x0y0=y0△x+x0△y+△x△y，

作为无穷小，ρ=√[（△x）²+（△y）²]，与△x，△y等阶。△x△y比ρ的阶高，因此上式可以写作：

△z=y0△x+x0△y+o(ρ)

=A△x+B△y+o(ρ)

其中A=y0，B=x0，都是常数。

根据定义，z=xy在（x0，y0）可微。