Question

已知函数f(x)是定义在(-∞,3)上的减函数

Answer 1

f(x)是减函数，定义在(-∞,3)，所以有以下几个不等式同时对x∈R恒成立：
a²-sinx
<
3
...
(1)
a+1+cos²x<3
...
(2)
a²-sinx>=a+1+cos²x
...
(3)
由式(1)知
a²-3
<
sinx
对x∈R恒成立，而-1<=sinx<=1，所以a²-3<-1，得a²<2，得
-根号2
=sinx
+
cos²x，将右边变换一下，sinx
+
cos²x=sinx+(1-sin²x)=
-(sinx
-
1/2)²+5/4,左侧变换一下得(a-1/2)²-5/4，所以(a-1/2)²>=
-(sinx
-
1/2)²
+
10/4
>=
9/4。得a-1/2>=3/2或<=-3/2，即a>=2或<=-1
综上
-根号2
<
a
<=
-1

Answer 2

解：因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(4m-2t)=-f(2t-4m)
又因为f(x)在（0，
∞)上是减函数,且f(x)在关于原点对称的区间上有相同的单调性，
所以f(x)在(-∞,
∞)上都是减函数
由f(t-3)
f(2t
m)
-2t-4m即t
2t
4m-3>0在t∈[0,1]上恒成立,求m的取值范围
这样有2种方法可接此题
1：令g(t)=t
2t
4m-3=(t
1)
4m-4
所以g(x)min=g(0)=4m-3>0
解得m>3/4
2.因为t
2t
4m-3>0
所以4m>-2t-2t
3
m>-1/4t-1/2t
3/4
m>-1/4(t
1)
1
因为当t∈[0,1]时-1/4(t
1)
1∈[0,3/4]
所以m>[-1/4(t
1)
1]max=3/4
所以m>3/4

Answer 3

因为
f(a²-sinx)≤f(a+1+cos²x)
并且函数单调减
所以3＞a²-sinx≥a+1+cos²x
由3＞a²-sinx
得a²<3+sinx
因为此式恒成立的，所以a²要比右边的最小值还要小才能保证恒成立
也就是a²<3+（-1）=2
所以-√2＜a＜√2
(*)
又因为
a²-sinx≥a+1+cos²x==>a²-a≥1+cos²x+sinx=2-sin²x+sin=
-
(sin²x-sinx+1/4-1/4)+2即
a²-a≥
-
(sin²x-sinx+1/4-1/4)+2
a²-a≥
-
(sinx-1/2)^2+9/4
因为是恒成立，所以左边要大于右边的最大值，而右边的最大值是：9/4所以a²-a≥9/4==>a²-a
+1/4≥9/4+1/4=5/2
即:(a-1/2)^2≥5/2
a-1/2≥√10/2
或a-1/2≤
-√10/2
a≥√10/2+1/2
或a≤1/2
-√10/2
求交集得：-√2＜a≤1/2
-√10/2