Question

超高难数学题~如图+在平面直角坐标系中，直线y=-x+4√2二交Ⅹ轴于点A，交y轴雨点B，在线段OA上

如图+在平面直角坐标系中，直线y=-x+4√2二交Ⅹ轴于点A，交y轴雨点B，在线段OA上有一动点P，以每秒√2个单位长度的速度由点O向终点A匀速运动，以OP为边在x轴上方作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线，垂足分别为点F和点E，设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2. （1）直接写出点A和点B的坐标及t的取值范围； （2）当t＝1时求S1的值； （1）（2）问可以不做 可以直接看第三问和第四问 （3）试求S2于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （4）求出在整个运动过程中，点C和点D所运动的路程之和
图

Answer 1

（1） A(4√2,0) B(0，4√2) t取值范围：[0,4]
（2） 在解题之前，先列出容易得出的几个基本信息：
三角形ABO为等腰直角三角形，OA=OB=4√2 ,AB=8
三角形ABQ为等腰三角形
连接OQ并延长交AB于点R,则易知OR垂直于AB且R为AB和EF中点
易知四边形CDEF为长方形，且其面积为三角形ABQ的1/2
CD=EF=1/2*AB
三角形APQ面积=三角形BMQ面积=1/2*t*√2*(4√2-t*√2)=4t-t^2
OPQM面积=（t*√2）^2=2*t^2
同时易知：当Q在三角形ABO内，即t<=2时，有
三角形APQ面积+三角形BMP面积+OPQM面积+三角形ABQ面积=三角形ABO面积=16
则CDEF面积=1/2三角形ABQ
=1/2(16-2*t^2-2*(4t-t^2))=8-4t

当Q在三角形ABO外，即t>2时，有
三角形APQ面积+三角形BMP面积+OPQM面积-三角形ABQ面积=三角形ABO面积=16
则CDEF面积=1/2三角形ABQ
=1/2(2*t^2-2*(4t-t^2)-16)=4t-8
综上，有S1=|8-4t| t取值范围：[0,4]
当t=1时，S1=8-4t=4
（3）易知：当Q在三角形ABO内，即t<=2时，OPQM与CDEF无重叠部分，则重叠面积为0
当Q在三角形ABO外，即t>2时，(以下自己画下图比较清楚)
设CD分别交QM和QP于G和H，则
S2=梯形CDEF面积
=三角形QEF面积- 三角形QGH面积
又有三角形QGH面积=1/4*三角形QEF面积
三角形QEF面积=1/2三角形QAB面积=S1
则有 S2=3/4*S1=3t-6

综上：S2于t的函数关系式为
S2=0 当t<=2
S2=3t-6 当2<t<=4
（4）易知点C和点D始终关于y=x对称，则两点运动路程相等，计算其中之一即可。
以点C运动为例，可考虑点C运动轨迹方程
已知Q(t*√2，t*√2)，A(4√2，0)，C为QA中点，则有
设C(x,y ),x=(4√2+t*√2)/2=2√2+t*√2/2 t取值范围：[0,4]
x取值范围：[2√2，4√2]
y=(t*√2+0)/2=t*√2/2 t取值范围：[0,4]
y取值范围：[0，2√2]
可知C轨迹方程为 y=x-2√2 且x取值范围：[2√2，4√2]
则C运动路程为两端点的距离，即
（（4√2-2√2）^2+(2√2-0)^2 )^1/2=4
同理可得D的运动路程为4
则点C和D运动路程之和为8

Answer 2

楼主好人、、、、、、谢啦

Answer 3

真是好难，无图无真相。

Answer 4