Question

二十四点算法 原理(比如:3,7,-5,-13用加减乘除每个数只能用一次=24)

Answer 1

漫长的假期对于我来说总是枯燥无味的，闲来无聊便和同学玩起童年时经常玩的二十四点牌游戏来。此游戏说来简单，就是利用加减乘除以及括号将给出的四张牌组成一个值为24的表达式。但是其中却不乏一些有趣的题目，这不，我们刚玩了一会儿，便遇到了一个难题——3、6、6、10（其实后来想想，这也不算是个太难的题，只是当时我们的脑筋都没有转弯而已，呵呵）。

问题既然出现了，我们当然要解决。冥思苦想之际，我的脑中掠过一丝念头——何不编个程序来解决这个问题呢？文曲星中不就有这样的程序吗？所以这个想法应该是可行。想到这里我立刻开始思索这个程序的算法，最先想到的自然是穷举法（后来发现我再也想不到更好的方法了，悲哀呀，呵呵），因为在这学期我曾经写过一个小程序——计算有括号的简单表达式。只要我能编程实现四个数加上运算符号所构成的表达式的穷举，不就可以利用这个计算程序来完成这个计算二十四点的程序吗？确定了这个思路之后，我开始想这个问题的细节。
首先穷举的可行性问题。我把表达式如下分成三类——
1、 无括号的简单表达式。
2、 有一个括号的简单表达式。
3、 有两个括号的较复4、 杂表达式。
穷举的开始我对给出的四个数进行排列，其可能的种数为4*3*2*1=24。我利用一个嵌套函数实现四个数的排列，算法如下:
/* ans[] 用来存放各种排列组合的数组 */
/* c[] 存放四张牌的数组 */
/* k[] c[]种四张牌的代号，其中k[I]=I+1。
用它来代替c[]做处理，考虑到c[]中有可能出现相同数的情况 */
/* kans[] 暂存生成的排列组合 */
/* j 嵌套循环的次数 */
int fans(c,k,ans,kans,j)
int j,k[],c[];char ans[],kans[];
{ int i,p,q,r,h,flag,s[4],t[4][4];
for(p=0,q=0;p<4;p++)
{ for(r=0,flag=0;r if(k[p]!=kans[r]) flag++;
if(flag==j) t[j][q++]=k[p];
}
for(s[j]=0;s[j]<4-j;s[j]++)
{ kans[j]=t[j][s[j]];
if(j==3) { for(h=0;h<4;h++)
ans[2*h]=c[kans[h]-1]; /* 调整生成的排列组合在最终的表
达式中的位置 */
for(h=0;h<3;h++)
symbol(ans,h); /* 在表达式中添加运算符号 */
}
else { j++;
fans(c,k,ans,kans,j);
j--;
}
}
}

正如上面函数中提到的，在完成四张牌的排列之后，在表达式中添加运算符号。由于只有四张牌，所以只要添加三个运算符号就可以了。由于每一个运算符号可重复，所以计算出其可能的种数为4*4*4=64种。仍然利用嵌套函数实现添加运算符号的穷举，算法如下:

/* ans[],j同上。sy[]存放四个运算符号。h为表达式形式。*/
int sans(ans,sy,j,h)
char ans[],sy[];int j,h;
{ int i,p,k[3],m,n; char ktans[20];
for(k[j]=0;k[j]<4;k[j]++)
{ ans[2*j+1]=sy[k[j]]; /* 刚才的四个数分别存放在0、2、4、6位
这里的三个运算符号分别存放在1、3、5位*/
if(j==2)
{ ans[5]=sy[k[j]];
/* 此处根据不同的表达式形式再进行相应的处理 */
}
else { j++; sans(ans,sy,j--,h); }
}
}

好了，接下来我再考虑不同表达式的处理。刚才我已经将表达式分为三类，是因为添加三个括号对于四张牌来说肯定是重复的。对于第一种，无括号自然不用另行处理；而第二种情况由以下代码可以得出其可能性有六种，其中还有一种是多余的。
for(m=0;m<=4;m+=2)
for(n=m+4;n<=8;n+=2)
这个for循环给出了添加一个括号的可能性的种数，其中m、n分别为添加在表达式中的左右括号的位置。我所说的多余的是指m=0，n=8，也就是放在表达式的两端。这真是多此一举，呵呵！最后一种情况是添加两个括号，我分析了一下，发现只可能是这种形式才不会是重复的——（a b）(c d)。为什么不会出现嵌套括号的情况呢？因为如果是嵌套括号，那么外面的括号肯定是包含三个数字的（四个没有必要），也就是说这个括号里面包含了两个运算符号，而这两个运算符号是被另外一个括号隔开的。那么如果这两个运算符号是同一优先级的，则肯定可以通过一些转换去掉括号（你不妨举一些例子来试试），也就是说这一个括号没有必要；如果这两个运算符号不是同一优先级，也必然是这种形式((a+-b)*/c)。而*和/在这几个运算符号中优先级最高，自然就没有必要在它的外面添加括号了。

综上所述，所有可能的表达式的种数为24*64*（1+6+1）=12288种。哈哈，只有一万多种可能性（这其中还有重复），这对于电脑来说可是小case哟！所以，对于穷举的可行性分析和实现也就完成了。

接下来的问题就是如何对有符号的简单表达式进行处理。这是栈的一个著名应用，那么什么是栈呢？栈的概念是从日常生活中货物在货栈种的存取过程抽象出来的，即最后存放入栈的货物（堆在靠出口处）先被提取出去，符合“先进后出，后进先出”的原则。这种结构犹如子弹夹。
在栈中，元素的插入称为压入（push）或入栈，元素的删除称为弹出（pop）或退栈。

栈的基本运算有三种，其中包括入栈运算、退栈运算以及读栈顶元素，这些请参考相关数据结构资料。根据这些基本运算就可以用数组模拟出栈来。

那么作为栈的著名应用，表达式的计算可以有两种方法。

第一种方法——
首先建立两个栈，操作数栈OVS和运算符栈OPS。其中，操作数栈用来记忆表达式中的操作数，其栈顶指针为topv，初始时为空，即topv=0；运算符栈用来记忆表达式中的运算符，其栈顶指针为topp，初始时，栈中只有一个表达式结束符，即topp=1，且OPS（1）=‘；’。此处的‘；’即表达式结束符。
然后自左至右的扫描待处理的表达式，并假设当前扫描到的符号为W，根据不同的符号W做如下不同的处理：
1、 若W为操作数
2、 则将W压入操作数栈OVS
3、 且继续扫描下一个字符
4、 若W为运算符
5、 则根据运算符的性质做相应的处理：
(1)、若运算符为左括号或者运算符的优先级大于运算符栈栈顶的运算符(即OPS(top)),则将运算符W压入运算符栈OPS，并继续扫描下一个字符。
(2)、若运算符W为表达式结束符‘；’且运算符栈栈顶的运算符也为表达式结束符（即OPS(topp)=’;’），则处理过程结束，此时，操作数栈栈顶元素（即OVS（topv））即为表达式的值。
(3)、若运算符W为右括号且运算符栈栈顶的运算符为左括号（即OPS（topp）=’(‘)，则将左括号从运算符栈谈出，且继续扫描下一个符号。
(4)、若运算符的右不大于运算符栈栈顶的运算符（即OPS(topp)），则从操作数栈OVS中弹出两个操作数，设先后弹出的操作数为a、b，再从运算符栈OPS中弹出一个运算符，设为+，然后作运算a+b,并将运算结果压入操作数栈OVS。本次的运算符下次将重新考虑。

第二种方法——
首先对表达式进行线性化，然后将线性表达式转换成机器指令序列以便进行求值。

那么什么是表达式的线性化呢？人们所习惯的表达式的表达方法称为中缀表示。中缀表示的特点是运算符位于运算对象的中间。但这种表示方式，有时必须借助括号才能将运算顺序表达清楚，而且处理也比较复杂。

1929年，波兰逻辑学家Lukasiewicz提出一种不用括号的逻辑符号体系，后来人们称之为波兰表示法（Polish notation）。波兰表达式的特点是运算符位于运算对象的后面，因此称为后缀表示。在对波兰表达式进行运算，严格按照自左至右的顺序进行。下面给出一些表达式及其相应的波兰表达式。
表达式 波兰表达式
A-B AB-
（A-B）*C+D AB-C*D+
A*（B+C/D）-E*F ABCD/+*EF*-
（B+C）/（A-D） BC+AD-/

OK，所谓表达式的线性化是指将中缀表达的表达式转化为波兰表达式。对于每一个表达式，利用栈可以把表达式变换成波兰表达式，也可以利用栈来计算波兰表达式的值。

至于转换和计算的过程和第一种方法大同小异，这里就不再赘述了。

下面给出转换和计算的具体实现程序——

/* first函数给出各个运算符的优先级，其中=为表达式结束符 */
int first(char c)
{ int p;
switch(c)
{ case '*': p=2; break;
case '/': p=2; break;
case '+': p=1; break;
case '-': p=1; break;
case '(': p=0; break;
case '=': p=-1; break;
}
return(p);
}
/* 此函数实现中缀到后缀的转换 */
/* M的值宏定义为20 */
/* sp[]为表达式数组 */
int mid_last()
{ int i=0,j=0; char c,sm[M];
c=s[0]; sm[0]='='; top=0;
while(c!='\0')
{ if(islower(c)) sp[j++]=c;
else switch(c)
{ case '+':
case '-':
case '*':
case '/': while(first(c)<=first(sm[top]))
sp[j++]=sm[top--];
sm[++top]=c; break;
case '(': sm[++top]=c; break;
case ')': while(sm[top]!='(')
sp[j++]=sm[top--];
top--; break;
default :return(1);
}
c=s[++i];
}
while(top>0) sp[j++]=sm[top--];
sp[j]='\0'; return(0);
}
/* 由后缀表达式来计算表达式的值 */
int calc()
{ int i=0,sm[M],tr; char c;
c=sp[0]; top=-1;
while(c!='\0')
{ if(islower(c)) sm[++top]=ver[c-'a'];/*在转换过程中用abcd等来代替数，
这样才可以更方便的处理非一位数，
ver数组中存放着这些字母所代替的数*/
else switch(c)
{ case '+': tr=sm[top--]; sm[top]+=tr; break;
case '-': tr=sm[top--]; sm[top]-=tr; break;
case '*': tr=sm[top--]; sm[top]*=tr; break;
case '/': tr=sm[top--];sm[top]/=tr;break;
default : return(1);
}
c=sp[++i];
}
if(top>0) return(1);
else { result=sm[top]; return(0); }
}

这样这个程序基本上就算解决了，回过头来拿这个程序来算一算文章开始的那个问题。哈哈，算出来了，原来如此简单——（6-3）*10-6=24。

最后我总结了一下这其中容易出错的地方——

1、 排列的时候由于一个数只能出现一次， 所以必然有一个判断语句。但是用什么来判断，用大小显然不行，因为有可能这四个数中有两个或者以上的数是相同的。我的方法是给每一个数设置一个代号，在排列结束时，通过这个代号找到这个数。

2、在应用嵌套函数时，需仔细分析程序的执行过程，并对个别变量进行适当的调整（如j的值）,程序才能正确的执行。

3、在分析括号问题的时候要认真仔细，不要错过任何一个可能的机会，也要尽量使程序变得简单一些。不过我的分析可能也有问题，还请高手指点。

4、在用函数对一个数组进行处理的时候，一定要注意如果这个数组还需要再应用，就必须将它先保存起来，否则会出错，而且是很严重的错误。

5、在处理用户输入的表达式时，由于一个十位数或者更高位数是被分解成各位数存放在数组中，所以需对它们进行处理，将它们转化成实际的整型变量。另外，在转化过程中，用一个字母来代替这个数，并将这个数存在一个数组中，且它在数组中的位置和代替它的这个字母有一定的联系，这样才能取回这个数。

6、由于在穷举过程难免会出现计算过程中有除以0的计算，所以我们必须对calc函数种对于除的运算加以处理，否则程序会因为出错而退出（Divide by 0）。

7、最后一个问题，本程序尚未解决。对于一些比较著名的题目，本程序无法解答。比如说5、5、5、1或者8、8、3、3。这是由于这些题目在计算的过程用到了小数，而本程序并没有考虑到小数。

最后，由于此文档并没有在写程序的同时完成，所以难免因为记忆的差错和小弟水平的不足而有不少错误，还望各位批评指正；或者你认为我写得还不够清楚，你也可以给我来信讨论。