Question

lim(x→0) 【f(f(x))-f(x)】/x =0，则f(0)+f'(0)=?

Answer 1

因为极限为0，所以分子的极限一定为0，否则极限为无穷大了
又因为连续，所以f(f(0))-f(0)=0(极限值等于函数值）
lim[f(f(x))-f(x)]/x=limf'(f(x))*f'(x)-f'(x)=limf'(x)(f'(f(x))-1)=f'(0)(f'(f(0))-1)=0
所以f'(f(0))=1，故f'(0)=1,f(0)=0
所以f(0)+f'(0)=1

Answer 2

设函数f(x)连续，f'(0)≠0，若lim(x→0)
【f(f(x))-f(x)】/
x
=0，
则lim(x→0)[f(f(x))-f(x)]=0,得f(f(0))-f(0)=0
f(f(0))=f(0)

f(0)=0是它的解
lim(x→0)[f(f(x))-f(x)]/
x
=0
lim(x→0)[f(f(x))-f(x)](f(x)-x)/
x(f(x)-x)
=0
lim(x→0)([f(f(x))-f(x)]/(f(x)-x))*
((f(x)-x)/
x)=0
lim(x→0)时f(x)→x,那么lim(x→0)([f(f(x))-f(x)]/(f(x)-x))=f'(0)
lim(x→0)((f(x)-x)/
x)=f'(0)-1
即f'(0)(f'(0)-1)=0
而f'(0)≠0,所以f'(0)=1
那么f(0)+f'(0)=0+1=1