Question

已知F(x)=x^3+3ax^2+bx+a^2在x=-1时有极值0，

1.求a,b多少
2.如果方程f(x)=c,在区间（-4,0）上右3个不同实根，求实数c的取值范围

Answer 1

方程根的问题会设计函数的单调性。
对于三次函数的图象，应该熟悉掌握，本题中三次方系数为正，那函数应该是先增后减再增的。
解 F'(x)=3x^2+6ax+b
由题意，x=-1是F(x)有极值
则 F'(-1)=0即3-6a+b=0
F(-1)=0 -1+3a-b+a^2=0
又a>1
解得 a=2
b=9
所以F'(x)=3x^2+12x+9
令 F'(x)=0 解得x=-1,-3
当x∈【-4，-3】时， F'(x)≥0 F(x)单调增
当x∈【-3，-1】时， F'(x)≤0 F(x)单调减
当x∈【-3，-1】时， F'(x)≥0 F(x)单调增
所以，F(x)在x=-3时取极大值4
在x=-1时取极小值0
保证有三个根，只要c介于极小值和极大值之间即可(但不能相等）
所以，0＜c＜4

Answer 2

函数有误吧 不存在a能满足条件？？