Question

已知,奇函数f(x+2)=f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x,则f(log0.5(23))的值为------.

Answer 1

log0.5(23)
=log0.5(16*23/16)
=log0.5(16)+log0.5(23/16)
=-4+log0.5(23/16)
因为f(x+2)=f(x)
是最小正周期为T=2
的周期函数,所以-4
也是一个周期
所以f(x-4)=f(x)
所以f(log0.5(23))=f(log0.5(23/16))
又
-1=log0.5(2)<log0.5(23/16)<log0.5(1)=0
而f(x)是奇函数,所以
f(-x)=-f(x)
所以f(log0.5(23/16))
=-f(-log0.5(23/16))=-f(log0.5(16/23))
且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x
所以
f(log0.5(23/16))
=-f(-log0.5(23/16))
=-f(log0.5(16/23))
=-2^(log0.5(16/23)
=-23/16