Question

在平面直角坐标系中，把矩形OABC的边OA,OC分别放在x轴和y轴的正半轴上，已知OA=2根号3，OC=2

(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转α°，得到矩形OA1B1C1，其中点A的对应点为点A1
①当0＜α＜90时，设AC交OA1与点K（如图1），若OAK为等腰三角形，请直接写出α的值；
②当α=90时（如图2），延长AC交A1C1与点D，求证：AD⊥A1C1；
③当点B1落在y轴正半轴上时（如图3），设BC与OA1交于点P，问经过B1，P两点的直线是否平分矩形OABC的面积？请说明理由。

Answer 1

解: (1):  A(2√3,0)　　B(2√3,2)　　C(0,2)

　 (2):①a=30°

          ②∵已知 A(2√3,0)，C(0,2)，a＝90°

　　　　∴A1(0，2√3)，C1(0,－2)

　　　　∵在直角三角形AOC中OA＝2√3，OC＝2　

　　　　∴AC＝4,即∠OAC＝30°

　　　　同理在直角三角形A1C1O中OA1＝2√3，OC1＝2　

　　　　∴∠A1C1O＝60°

　　　　在三角形ADC1中∠OAC＝30°，∴∠A1C1O＝60°

　　　　∴∠ADC1＝90°

　　　　∴AD⊥A1C1 

             ③如图所示：直线B1P交X轴于点Q；在直角三角形OA1B1中，A1B1＝2，OA1＝2√3；

　　　　∴∠A1OB1＝30°

　　　　又∵在直角三角形PCO中，OC＝2，∠POC＝∠A1OB1＝30°

　　　　∴PC＝tan30°OC＝2√3／3

　　　　又∵在直角三角形PB1C和直角三角形QB1O中，∠PB1C＝∠QB1O

　　　　∴在直角三角形PB1C∽直角三角形QB1O

　　　　∴PC／B1C＝QO／B1O＝2／4

　　　　∴OQ＝4√3／3

　　　　∴S直角梯形PCOQ＝（PC＋OQ)×OC／2＝（2√3／3＋4√3／3）×2／2＝2√3

　　　　S矩形ABCO＝OC×OA＝2×2√3＝4√3

　　　　即S直角梯形PCOQ＝S矩形ABCO／2

　　　　即B1，P两点的直线平分矩形OABC的面积

追问

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