Question

n为正整数,求证30丨n5-n

Answer 1

30
=
2*3*5，所以只需分别证明
2、3、5
能整除
n^5
-
n
n^5
-
n
=
n(n^4
-
1)
=
n(n^2
-
1)(n^2
+
1)
=
n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n、n-1、n+1
是3个连续整数，所以必有一个是2的倍数，一个是3的倍数。
所以：2和3
能整除
n^5
-
n
下面证明
5
能整除
n^5
-
n
=
n(n-1)(n+1)(n^2+1)
你可以由费尔马小定理直接得出：n^5
≡
n
(mod
5)，从而
5
|
(n^5
-
n)
如果不想用费尔马小定理：
若
n(n-1)(n+1)
这3个连续整数有一个能被
5
整除，则
n^5
-
n
可被
5
整除。
否则，n
=
5k+2
或
5k+3，其中
k
为整数。
当
n
=
5k+2
时，
n^2
+
1
=
(5k+2)^2
+
1
≡
2^2
+
1
≡
5
(mod
5)
所以，n^2
+
1
可被
5
整除。
当
n
=
5k+3
时，
n^2
+
1
=
(5k+3)^2
+
1
≡
3^2
+
1
≡
10
(mod
5)
所以，n^2
+
1
可被
5
整除。
证完了。