Question

如图,在平面直角坐标系中,直线y=1/2x+根号5与x轴y轴分别交与A,B两点，将△ABO绕着原点O顺时针旋转得到

△A'B'C',并使AO'⊥AB，垂足为点D，直线AB与线段A'B'相交于点C，动点E从原点O出发，以1个单位/秒得速度沿X轴正方向运动，设点E运动的时间为t秒
1）求点D的坐标
2）连接DE，当DE与线段OB'相交，焦点为F且四边形DFB'G是平行四边形时。求此时线段DE所在的直线的解释式（详细解答一下谢谢）

Answer 1

抱歉根号我打不上，过程很完整，你再算算数，就可以了
解：（1）由题意知A（-2 5 ，0）B（0， 5 ），
∴OA=2 5 ，OB= 5 ，
∴AB= (2 5 )2+( 5 )2 =5，
∵OD⊥AB，
∴1 2 OA•OB=1 2 AB•OD，
∴OD=2 5 × 5 5 =2．
过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=1 2 ，
∴DH=2OH．
设OH=a，则DH=2a．
∴a2+4a2=4，
∴a=2 5 5 ．
∴OH=2 5 5 ，DH=4 5 5 ．
∴D（-2 5 5 ，4 5 5 ）；
（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
∵四边形DFB′G是平行四边形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0， 5 2 ）．
设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
把M（0， 5 2 ）D（-2 5 5 ，4 5 5 ）代入y=kx+b，
得 5 2 =b 4 5 5 =-2 5 5 k+b ，解得 k=-3 4 b= 5 2 ．
∴线段DE所在直线的解析式为y=-3 4 x+ 5 2 ；

（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2 5 ，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．
则 1=2k1+b1 4=-2k1+b1 ，解得 k1=-3 4 b1=5 2 ．
∴直线A′B′的解析式为y=-3 4 x+5 2 ．
∴N（10 3 ，0），
∴KN=16 3 ，
∴A’N= A′K2+KN2 =20 3 ．
当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．
∵tan∠A’NK=A′K KN =3 4 ，
∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．
又∵tan∠E1A’B’=1 8 ，
∴A’Q1=24m，
∴28m=20 3 ，
∴m=5 21 ，
∴E1N=25 21 ，
∴OE1=ON-E1N=15 7 ，此时t=15 7 ．
过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．
∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，
∴E1S1 OE1 =A′K OA′ ，
∴E1S1=4 2 5 ×15 7 =6 5 7 ．
∵⊙E的半径为2 5 ，而6 5 7 ＜2 5 ，
∴⊙E1与直线A’O相交．
当E点在N点右侧点E2位置时，
过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．
同理OE2=5，此时t=5．
过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．
同理E2S2=4 2 5 ×5=2 5 ．
∵⊙E的半径为2 5 ，
∴⊙E2与直线A′O相切．
∴当t=15 7 或t=5时，tan∠EA′B′=1 8 ；
当t=15 7 时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．

Answer 2

（1）由题意知A（

，0）B（0，

），

∴OA=

，OB=

，

∴AB=

=5，

∵OD⊥AB，

∴

OA•OB=

AB•OD，

∴OD=

=2．

过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）

∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，

∴∠ODH=∠BAO，

∴tan∠ODH=tan∠BAO=

，

∴DH=2OH．

设OH=a，则DH=2a．

∴a2+4a2=4，

∴a=

．

∴OH=

，DH=

．

∴D（﹣

，

）；

（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）

∵四边形DFB′G是平行四边形，

∴DF∥B′G，

∴∠1=∠A′．

又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠BAO=∠2．

∵∠BAO=∠A′，

∴∠1=∠2，

∴DM=OM．（1分）

∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，

∴∠3=∠4，

∴BM=DM，

∴BM=OM，

∴点M是OB中点，

∴M（0，

）．

设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．

把M（0，

）D（

，

）代入y=kx+b，

得

，解得

．

∴线段DE所在直线的解析式为

；

（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．

∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=

，

∴△AOD≌△A′OK，

∴OK=2，

∴A′K=4，

∴A′（﹣2，4）．

过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，

∴B′（2，1）．

设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．

则

，解得

．

∴直线A′B′的解析式为

．

∴N（

，0），

∴KN=

，

∴A’N=

=

．

当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．

∵tan∠A’NK=

=

，

∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．

又∵tan∠E1A’B’=

，

∴A’Q1=24m，

∴28m=

，

∴m=

，

∴E1N=

，

∴OE1=ON﹣E1N=

，此时t=

．

过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．

∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，

∴

，

∴E1S1=

．

∵⊙E的半径为

，而

，

∴⊙E1与直线A’O相交．

当E点在N点右侧点E2位置时，

过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．

同理OE2=5，此时t=5．

过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．

同理E2S2=

=

．

∵⊙E的半径为

，

∴⊙E2与直线A′O相切．

∴当t=

或t=5时，tan∠EA′B′=

；

当t=

时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．