Question

在正方形abcd中ae平行于bd,be=bd,be交ad于f,求证def为等腰三角形

Answer 1

连接AC，交BD于O ，过E做EN⊥BD于N

∵ABCD是正方形

∴AC⊥BD (OA⊥BD)  

∵AE∥OD

∴EA⊥OA

∴四边形AENO是矩形，

∴EN=AO=BD/2=BE/2

∴∠EBD=30°

∵BD=BE

∴∠BED=75°

∵∠EFD=∠DBE+∠FDB=30°+45°=75°

即∠BED=∠EFD

∴DE=DF

所以ΔDEF是等腰三角形。

Answer 2

连接AC，交BD于O ，过E做EG⊥BD于G
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD (OA⊥BD) OA=1/2AC=1/2BD
∠ABD=∠ADB=45°
∵OA⊥BD EG⊥BD
∴OA∥EG
∵AE∥BD
∴四边形AOGE是平行四边形
∵∠AOG=∠EGO=90°
∴四边形AOGE是矩形
∴EG=OA=1/2BD
∴∠EBD=30°(Rt△BGE)
∵BE=BD
∴△BED是等腰三角形
∴∠BED=∠EDB=75°
∴∠EDF=∠EDB-∠ADB=75°-45°=30°
∴∠EFD=180°-∠BED-∠EDF=180°-75°-30°=75°
∴∠EFD=∠FED(∠BED)
∴△DEF是等腰三角形