Question

已知函数f(x)=a*b^x的图像经过点A（2，1/2）和点B（3，1）。

（1）记an=log2f(n),Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式anSn ≤0.（2）对于数列{an},求数列{f(n)an}的前n项和

Answer 1

f(2)=ab^2=1/2、f(3)=ab^3=1。
后式除前式得：b=2。
将b=2代入ab^2=1/2得：a=1/8。
f(x)=(1/8)*2^x=2^(x-3)
1)an=log2[2^(n-3)]=n-3，为首项是-2、公差是1的等差数列。
Sn=n(n-5)/2，anSn=n(n-3)(n-5)/2<=0。
n>=1，则n-3和n-5中只能有一个小于等于0，则n-5<=0，n<=5。
所以，1<=n<=5，且n为整数。
2)f(n)an=(n-3)*2^(n-3)。
设Tn=-2*2^(-2)+(-1)*2^(-1)+0*2^0+1*2^1+2*2^2+…+(n-3)*2^(n-3) (1)
2*(1)得：2Tn=-2*2^(-1)+(-1)*2^0+0*2^1+1*2^2+…+(n-3)*2^(n-2) (2)
(1)-(2)得：-Tn=-2*2^(-2)+2^(-1)+2^0+2^1+2^2+…+2^(n-3)-(n-3)*2^(n-2)
=[2^(-2)+2^(-1)+2^0+2^1+2^2+…+2^(n-3)]-3/4-(n-3)*2^(n-2)
=(1/4)(2^n-1)/(2-1)-3/4-(n-3)*2^(n-2)
=2^(n-2)-1-(n-3)*2^(n-2)
Tn=(n-3)*2^(n-2)+1-2^(n-2)=(n-4)*2^(n-2)+1。

追问

n不是大于等于2的吗

追答

n>=1

追问

但是我们学习数列时分的情况就是n=1或n≥2，不是吗

Answer 2

解：(1)由函数f(x)=a*b^x的图像经过点A（2，1/2）和点B（3，1），得到：
（1/2）=a*b^2
1=a*b^3 解方程组得a=1/8 b=2
所以f(x)=（1/8）*2^x=2^(x-3) an=n-1
an=log2[2^(n-3)]=n-3，为首项是-2、公差是1的等差数列。
Sn=n(n-5)/2，anSn=n(n-3)(n-5)/2<=0。
所以，1<=n<=5，且n为整数，所以n=1、2、3、4、5
（2）f(n)an=(n-3)*2^(n-3)。设Bn为其前n项和。
所以Bn=-2*2^(-2)+(-1)*2^(-1)+0*2^0+1*2^1+2*2^2+…+(n-3)*2^(n-3) (1)
2*(1)得：2Tn=-2*2^(-1)+(-1)*2^0+0*2^1+1*2^2+…+(n-3)*2^(n-2) (2)
(1)-(2)得：-Tn=-2*2^(-2)+2^(-1)+2^0+2^1+2^2+…+2^(n-3)-(n-3)*2^(n-2)
=[2^(-2)+2^(-1)+2^0+2^1+2^2+…+2^(n-3)]-3/4-(n-3)*2^(n-2)
=(1/4)(2^n-1)/(2-1)-3/4-(n-3)*2^(n-2)
=2^(n-2)-1-(n-3)*2^(n-2)
Bn=(n-3)*2^(n-2)+1-2^(n-2)=(n-4)*2^(n-2)+1。